Am einfachsten, ist wenn Du den Schaden beziffern kannst und das bei der gegnerischen Versicherung vorlegst. Dazu wirst Du aber erstmal einen Gutachter brauchen. Normalerweise sollte den die gegnerische Versicherung bezahlen, denn ihr Versicherungsnehmer (der Typ der Dir vors Moped gelaufen ist) ist Schuld an dem Umstand, dass Du einen benötigst. Genau so Schuld am Schaden. Die Schuldfrage ist ja offenbar bereits geklärt.
In der Regel dauert das ein paar Wochen, Du erhälst vll. Nutzungsausfall und am Ende gibt's einen Verrechnungsscheck.
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