Der Schlauch mit der Kappe ist die Airboxdrainage. Wenn du die Maschine hinlegst, überlaufen die Schwimmerkammern in den Vergaserschlund, und von da her in die Airbox. Ausserdem wird Der Ventiltrieb in die Airbox entlüftet; von daher kommt da immer ein bisschen Oel. Bis hierhin ist beim Ablegen alles normal: Du hast Benzin in die Airbox bekommen, das hat die Oelreste ausgewaschen. Wenn es allerdings aus der Airbox dauernd tröpfelt, schliessen die Schwimmernadelventile im Vergaser nicht richtig; dann überläuft der Vergaser in die Airbox.

Wegen Oel an der Batteriehalterung: Mach in dem Schluchwirrwarr da unten einmal alles sauber und achte dann darauf, ob Du neue Oelverschmutzung bekommst. Dann kannst Du auch besser Verfolgen, wo es herkommt.

Die tröpfelnde Airbox würd ich mir auch einmal von innen ansehen:

Tankbefestigungsschrauben lösen (zwei Stück, seitlich im Rahmen)
Tank leicht anheben und Benzinhahn unter dem Tank mit langem Schraubenzieher zumachen.
Schläuche am Tank abmachen (laufen ein paar Tropfen Sprit aus)
Tank nach hinten wegziehen.
Jetzt siehst Du von oben auf den Luftfilter.
Die vier Schrauben vom Luftfilter lösen und den LuFi herausnehmen (kannst Du bei der Gelegenheit gleich auskopfen / ausblasen (von aussen!)
Jetzt hast Du Zugang zur Aibox ond kannst checken, ob die unzulässig eingesaut ist.

Wenn Dir Mechanik eher suspekt ist, hast du sicher einen Bekannten, der weiss, an welchem Ende man einen Schraubenzieher anfasst.