Das hört sich nach entladener Batterie an.
Da die GS eine Batteriezündung hat, läuft die auch nur richtig, wenn die Batterie halbwegs voll ist. Es ist also nicht verwunderlich, dass deine GS mit leerer Batterie schlecht bis gar nicht läuft.
Wenn du dann noch das Licht anschaltest, reicht die Spannung und der Strom nicht mehr für die elektronische Zündung.
Warum deine Batterie nach so kurzer Standzeit keinen Mucks mehr macht weiß ich auch nicht.
Hast du irgendwelche Verbraucher, die ständig Strom ziehen, eine Uhr oder sowas?
Was sind eigentlich ein paar Wochen bei dir. Eine Batterie sollte man spätestens alle 3 Monate nachladen, besser wäre monatlich.
Starterbatterien haben eine relativ hohe Selbstentladerate von etwa 1%/Tag, je nach äußeren Umständen.
Kannst ja mal nachlesen:
http://www.google.de/#hl=de&sclient=...w=1024&bih=545